Rozkład (matematyka) Równania Szeregi (matematyka)

Dalsze przykłady i własności dystrybucji

Moduł ten rozpoczniemy od następującego lematu technicznego, który wykorzystamy w następnym przykładzie.

Lemat 1:

Niech \( \hskip 0.3pc I=(-1,1).\hskip 0.3pc \) Ustalmy \( \hskip 0.3pc \varphi_0 \in D(I)\hskip 0.3pc \) takie, że \( \hskip 0.3pc \varphi_0 (0)=1.\hskip 0.3pc \) Dla \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(I)\hskip 0.3pc \) połóżmy

\( \psi_{\varphi} (x) =\begin{cases}\dfrac{\varphi (x)-\varphi (0)\varphi_0(x)}{x}, & \textrm{ jeśli } \hskip 0.3pc x\in I\setminus\{0\} ,\\ \\ \varphi ^\prime(0)-\varphi (0)\varphi_0^\prime(0), & \textrm{ jeśli } \hskip 0.3pc x=0.\end{cases} \)

Wówczas \( \hskip 0.3pc \psi_{\varphi}\in D(I)\hskip 0.3pc \) oraz

(1)

\( \varphi (x)= x\,\psi_{\varphi}(x)+\varphi (0)\,\varphi_0 (x),\qquad x\in I. \)

Dowód. Oczywiście nośnik \( \hskip 0.3pc \psi_{\varphi}\hskip 0.3pc \) jest zbiorem zwartym. Pozostaje pokazać, że \( \hskip 0.3pc \psi_{\varphi}\hskip 0.3pc \) jest funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^{\infty}\hskip 0.3pc \) na \( \hskip 0.3pc I.\hskip 0.3pc \)
Jeśli \( \hskip 0.3pc x\in I\setminus \{0\}\hskip 0.3pc \) to

\( \begin{aligned}\psi_{\varphi} (x)&=\dfrac 1x\Big(\big(\varphi (x)-\varphi (0)\big) -\varphi (0)\big(\varphi_0 (x)-\varphi_0(0)\big)\Big)=\\&=\dfrac 1x\displaystyle\int_0^x\Big(\varphi ^\prime(s)-\varphi (0)\varphi_0^\prime(s)\Big)ds= \displaystyle\int_0^1\Big(\varphi ^\prime(tx)-\varphi (0)\varphi_0^\prime(tx)\Big)dt. \end{aligned} \)

Zauważmy, że ostatni wzór jest również prawdziwy dla \( \hskip 0.3pc x=0.\hskip 0.3pc \) Różniczkowanie dowolnego rzędu funkcji \( \hskip 0.3pc \psi_{\varphi}\hskip 0.3pc \) względem \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \) wynika natychmiast z wzorów na różniczkowanie całki względem parametru oraz regularności funkcji \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc \varphi_0.\hskip 0.3pc \) Zatem \( \hskip 0.3pc \psi _{\varphi }\in D(I).\hskip 0.3pc \) Ponieważ dla \( \hskip 0.3pc x=0\hskip 0.3pc \) wzór ( 1 ) jest oczywisty, a dla \( \hskip 0.3pc x\in I\setminus \{0\}\hskip 0.3pc \) wynika natychmiast z definicji funkcji \( \hskip 0.3pc \psi _{\varphi},\hskip 0.3pc \) dowód lematu 1 jest kompletny.

Przykład 1:

Niech \( \hskip 0.3pc I=(-1,1).\hskip 0.3pc \) Pokazać, że każde rozwiązanie w sensie dystrybucyjnym równania

\( xu=0 \)

jest postaci

\( u=c\delta, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc c\hskip 0.3pc \) jest stałą.
Istotnie, przypuśćmy, że \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania \( \hskip 0.3pc xu=0.\hskip 0.3pc \) Załóżmy, że \( \hskip 0.3pc \varphi_0\hskip 0.3pc \) jest dobrane zgodnie z lematem 1 z modułu "Pierwotna z dystrybucji określonej na R". Niech \( \hskip 0.3pc c=\langle u,\varphi_0\rangle.\hskip 0.3pc \) Korzystając z lematu 1, liniowości dystrybucji oraz relacji 1 z modułu "Podstawowe działania na dystrybucjach" , dla dowolnego \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(I)\hskip 0.3pc \) mamy

\( \begin{aligned}\langle u,\,\varphi\rangle &=\big\langle u,\,x\psi_{\varphi}(x)+\varphi (0)\,\varphi_0 (x)\big\rangle = \big\langle u,\,x\,\psi_{\varphi}(x)\big\rangle + \big\langle u,\,\varphi (0)\,\varphi_0 (x)\big\rangle =\\ &=\big\langle xu,\,\psi_{\varphi}(x)\big\rangle +\varphi (0)\big\langle u, \varphi_0(x)\big\rangle \,\, =\,\,c\varphi (0)\,\,=\,\, c\langle \delta ,\, \varphi \rangle\,\,=\,\, \langle c\delta ,\, \varphi \rangle ,\end{aligned} \)

co należało wykazać.

Przykład 2:

Niech \( \hskip 0.3pc I=(-1,1),\hskip 0.3pc \) \( m\in \mathbb N.\hskip 0.3pc \) Pokazać, że każde rozwiązanie w sensie dystrybucyjnym równania

\( x^mu=0 \)

jest postaci

\( u=\displaystyle\sum_{i=0}^{m-1}c_i\delta^{(i)}, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc c_i\hskip 0.3pc \) są stałymi.
Przypadek \( \hskip 0.3pc m=1\hskip 0.3pc \) był rozpatrzony w poprzednim przykładzie. Dla dowodu indukcyjnego przypuśćmy, że teza jest prawdziwa dla \( \hskip 0.3pc m\geq 1. \hskip 0.3pc \) Rozważmy równanie \( \hskip 0.3pc x^{m+1}u=0,\hskip 0.3pc \) które możemy zapisać w postaci równoważnej \( \hskip 0.3pc x^m\, xu=0.\hskip 0.3pc \) Na mocy założenia indukcyjnego

\( xu=\displaystyle\sum_{i=0}^{m-1}c_i\delta^{(i)}. \)

Korzystając z równości \( \hskip 0.3pc \delta ^{(i)}=-\dfrac {x}{i+1}\delta ^{(i+1)}\hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( xu=-x\displaystyle\sum_{i=0}^{m-1}\dfrac{c_i}{i+1}\delta^{(i+1)}, \)

lub w postaci równoważnej

\( x\Big(u+\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\dfrac{c_{i-1}}{i}\delta^{(i)}\Big)=0. \)

Ponowne wykorzystanie poprzedniego przykładu kończy dowód.

Przykład 3:

Pokazać, że szereg

\( \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta_{ka} \)

jest zbieżny do dystrybucji okresowej o okresie \( \hskip 0.3pc a.\hskip 0.3pc \)
Istotnie, dla \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\mathbb R)\hskip 0.3pc \) mamy

\( \big\langle \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta_{ka},\,\varphi \big\rangle= \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\varphi (ka). \)

Ponieważ funkcja \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) ma nośnik zwarty, szereg po prawej stronie zawiera tylko skończoną ilość wyrazów, a zatem jest zbieżny. Oczywiście jego granica jest dystrybucją. Połóżmy

\( T=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta_{ka}. \)

Dla dowolnego \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(\mathbb R),\hskip 0.3pc \) wykorzystując wzór 2 z modułu "Podstawowe działania na dystrybucjach" na dystrybucje przesuniętą, mamy

\( \begin{aligned}\langle T_{a},\,\varphi (x) \rangle =& \langle T\,,\varphi (x+a) \rangle =\big\langle \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta_{ka},\,\varphi (x+a)\big\rangle = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\varphi \big((k+1)a\big)=\\=& \displaystyle\sum_{i=-\infty}^{+\infty}\varphi (ia) = \displaystyle\sum_{i=-\infty}^{+\infty}\big\langle\delta_{ia},\,\varphi \big\rangle =\big\langle \displaystyle\sum_{i=-\infty}^{+\infty}\delta_{ia},\,\varphi \big\rangle = \langle T,\,\varphi \rangle,\end{aligned} \)

co oznacza, że \( \hskip 0.3pc T_a=T.\hskip 0.3pc \)

Przykład 4:

Niech \( \hskip 0.3pc f\in D^*(I),\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.1pc I=(a,b).\hskip 0.3pc \) Znaleźć dystrybucje \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) taką, że

\( u^\prime=f \)

Oczywiście pochodną rozumiemy w sensie dystrybucyjnym, a ewentualne rozwiązanie tego problemu będziemy nazywać rozwiązaniem dystrybucyjnym.
Pokażemy, że problem ten posiada rozwiązanie i ponadto każde rozwiazanie jest postaci \( \hskip 0.3pc u=u_0+C,\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc u_0\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem szczególnym tego równania, a \( \hskip 0.3pc C\hskip 0.3pc \) dowolną stałą.
Istotnie, na mocy twierdzenia 3 z modułu "Zbieżność w sensie dystrybucyjnym" istnieje ciąg \( \hskip 0.3pc \{\varphi _k\}\subset D((a,b))\hskip 0.3pc \) zbieżny dystrybucyjnie do \( \hskip 0.3pc f.\hskip 0.3pc \) Ustalmy \( \hskip 0.3pc \varphi _0 \in D((a,b)))\hskip 0.3pc \) tak, aby zachodził warunek

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi _0(x)dx=1. \)

Dla \( \hskip 0.3pc k\in \mathbb N\hskip 0.3pc \) połóżmy

\( \psi _k(x)=c_k+\displaystyle\int_{a}^x\varphi _k(s)ds, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc c_k\hskip 0.3pc \) jest stałą tak dobraną, aby

(2)

\( \displaystyle\int_{a}^b\psi _k(x)\varphi _0(x) dx=0. \)

Niech \( \hskip 0.3pc \varphi \in D((a,b)).\hskip 0.3pc \) Zgodnie z uwagą 1 z modułu "Pierwotna z dystrybucji określonej na R" mamy \( \hskip 0.3pc \varphi =\lambda \varphi _0+\psi ^{\,\prime},\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc \lambda\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \psi \hskip 0.3pc \) są dane wzorami 8 z modułu "Pierwotna z dystrybucji określonej na R". Zauważmy, że \( \hskip 0.3pc \psi (a)=\psi (b)=0.\hskip 0.3pc \) Korzystając z tych uwag, związku ( 2 ) oraz równości \( \hskip 0.3pc \psi ^{\,\prime}_k=\varphi _k,\hskip 0.3pc \) otrzymamy

\( \begin{aligned}\displaystyle\int_a^b\psi _k\varphi \,dx =& \displaystyle\int_a^b\psi _k\big(\lambda \varphi _0+\psi ^{\,\prime}\big) dx=\lambda \displaystyle\int_a^b\psi _k\varphi_0 dx+\displaystyle\int_a^b\psi _k\psi ^{\,\prime}dx=\\=& \psi _k\psi \Big|_a^b-\displaystyle\int_a^b\psi _k^{\,\prime}\psi dx=-\displaystyle\int_a^b\varphi _k\psi dx.\end{aligned} \)

Ponieważ ciąg \( \hskip 0.3pc \{\varphi_k\}\hskip 0.3pc \) jest dystrybucyjnie zbieżny, a dla dowolnej \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(a,b)\hskip 0.3pc \) również odpowiadająca jej, zgodnie z wzorami 8 z modułu "Pierwotna z dystrybucji określonej na R", funkcja \( \hskip 0.3pc \psi\hskip 0.3pc \) jest elementem przestrzeni \( \hskip 0.3pc D(a,b),\hskip 0.3pc \) zatem ciąg \( \hskip 0.3pc \{\psi_k\}\hskip 0.3pc \) jest dystrybucyjnie zbieżny, powiedzmy do dystrybucji \( \hskip 0.3pc u_0\hskip 0.3pc \). Oczywiście

\( u_0^\prime=\displaystyle\lim_{k\to \infty}\psi _k^{\,\prime}=\displaystyle\lim_{k\to \infty}\varphi _k=f. \)

Oznacza to, że \( \hskip 0.3pc u_0\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem naszego równania.

Rozważmy teraz równanie \( \hskip 0.3pc u^\prime=0\hskip 0.3pc \). Przypuśćmy, że dystrybucja \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem tego równania. Połóżmy

\( C=\langle u, \varphi_0 \rangle . \)

Niech \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(a,b)\hskip 0.3pc \) i niech \( \hskip 0.3pc \varphi =\lambda \varphi _0+\psi^{\,\prime},\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc \lambda\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \psi\hskip 0.3pc \) są dobrane zgodnie z uwagą 1 z modułu "Pierwotna z dystrybucji określonej na R". Zauważmy, że

\( \begin{aligned}\langle u,\varphi \rangle &= \langle u,\lambda \varphi _0+\psi^\prime \rangle= \lambda\langle u, \varphi _0 \rangle + \langle u,\psi^{\,\prime} \rangle =\lambda C-\langle u^\prime,\psi \rangle= \\&= \lambda C =\displaystyle\int_a^bC \varphi \,dx = \langle C,\varphi \rangle .\end{aligned} \)

Ponieważ \( \hskip 0.3pc \varphi \in D(a,b)\hskip 0.3pc \) było dowolne, oznacza to, że \( \hskip 0.3pc u=C,\hskip 0.3pc \) czyli że rozwiązaniami równania \( \hskip 0.3pc u^\prime=0\hskip 0.3pc \) są wyłącznie dystrybucje stałe. W konsekwencji rozwiązania równania \( \hskip 0.3pc u^\prime=f\hskip 0.3pc \) mają postać \( \hskip 0.3pc u =u_0+C\hskip 0.3pc \), co należało pokazać.

Przykład 5:

Sprawdzić, że rodzina rozwiązań dystrybucyjnych dla równania

\( u^\prime=\lambda u \)

pokrywa się z rodziną rozwiązań klasycznych.
Istotnie, korzystając z własności 1 z modułu "Pochodna w sensie dystrybucyjnym" równanie to możemy zapisać w postaci równoważnej

\( \Big(e^{-\lambda x}u\Big)^\prime=0. \)

Stąd i poprzedniego przykładu wynika, że dowolne rozwiązanie dystrybucyjne ma postać

\( e^{-\lambda x}u=C, \)

czyli \( \hskip 0.3pc u=Ce^{\lambda x}\hskip 0.3pc \). Ponieważ dystrybucji \( \hskip 0.3pc Ce^{\lambda x}\hskip 0.3pc \) odpowiada funkcja \( \hskip 0.3pc Ce^{\lambda x}\hskip 0.3pc \) i na odwrót, pokazaliśmy że rozwiązania dystrybucyjne pokrywają się z rozwiązaniami klasycznymi.

Temat:
Opis:
Typ:

Email: